Pente de Dirac

Gráfico de comb(x/τ). A função é par e tem período τ.

Em matemática, o Pente de Dirac é uma distribuição (ou função generalizada) obtida a partir do Delta de Dirac. Em engenharia elétrica, também recebe os nomes de função sha ( ou shah), trem de impulsos e função de amostragem. É definida da maneira seguinte, como um conjunto infinito de impulsos unitários, espaçados de uma unidade:

$comb(x)\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\delta (x\;-\;k)\;\;\;\;\;(1)$

onde $\delta (x)$ é o Delta de Dirac e $k$ é um número inteiro.

Alguns autores usam para denotá-la o símbolo Ш (letra cirílica sha), por brevidade. Esse símbolo alude, evidentemente, à forma do seu gráfico em coordenadas cartesianas (ver figura ao lado).

A distribuição é periódica com período = 1. Pode-se definir a distribuição de uma forma mais genérica, com período τ, da maneira seguinte:

$comb\left({\frac {x}{\tau }}\right)\;=\;|\tau |\cdot \sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\delta \left(x\;-\;{\frac {k}{\tau }}\right)\;\;\;\;\;(2)$.

Propriedades

Propriedades elementares

Algumas propriedades são evidentes, a partir da definição:

$comb(-x)\;=\;comb(x)\;\;\;\;\;(3a)$

$comb(x\;+\;n)\;=\;comb(x)\;|\;n\;\in \;\mathbb {Z} \;\;\;\;\;(3b)$

$comb\left(x\;-\;{\frac {1}{2}}\right)\;=\;comb\left(x\;+\;{\frac {1}{2}}\right)\;\;\;\;\;(3c)$

$\int _{n\;-\;{\frac {1}{2}}}^{n\;+\;{\frac {1}{2}}}comb(x)\;dx\;=\;1\;|\;n\;\in \;\mathbb {Z} \;\;\;\;\;(3d)$

$comb(x)\;=\;0\;|\;x\;\not \in \;\mathbb {Z} \;\;\;\;\;(3e)$

Amostragem

O Pente de Dirac exibe a propriedade de, para qualquer função $f(x)$,

$comb(x)\cdot f(x)\;=\;f(k)\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }f(k)\cdot \delta (x\;-\;k)\;\;\;\;\;(3f)$

A propriedade dada por (3f) é o que torna o Pente de Dirac importante na Teoria da Amostragem. A multiplicação de comb(x) a uma função qualquer f(x) resulta numa sequência f(k) que espelha os valores originais em pontos específicos e anula o resto. Daí decorre que

$\int _{-\infty }^{\infty }comb(x)\cdot f(x)\;dx\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }f(k)\;\;\;\;\;(3g)$

Outra propriedade útil está relacionada à convolução:

$comb(x)\;*\;f(x)\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }f(x\;-\;k)\;\;\;\;\;(3h)$

A convolução com o Pente de Dirac gera uma sequência em que os valores de f(x) em determinados instantes são replicados periodicamente. Se f(x) ≠ 0 para |x| > 1, haverá superposição entre os valores mas, no caso de f(x) ≠ 0 apenas para |x| < 1, a sequência resultante será periódica com período igual a uma unidade.

Série de Fourier

É evidente a partir da definição da própria função que o Pente de Dirac ${comb}_{T}(x)$ é periódico com período $T$. De modo que:

${comb}_{T}(x+T)\;=\;{comb}_{T}(x)$ $,\forall \;x$.

A Série de Fourier da função na forma exponencial é do tipo:

${comb}_{T}(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{2\pi in{\frac {x}{T}}}\$

cujos coeficientes de Fourier, ${c}_{n}$ são:

${\begin{aligned}c_{n}\,&={\frac {1}{T}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+T}{comb}_{T}(x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\quad (-\infty <x_{0}<+\infty )\\[4pt]&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{comb}_{T}(x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (x)e^{-2\pi in{\frac {x}{T}}}\,dx\\&={\frac {1}{T}}e^{-2\pi in{\frac {0}{T}}}\\[4pt]&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}$

Logo, todos os coeficientes são iguais a $\;\;{\frac {1}{T}}\;\;$ e sua representação em Série de Fourier é:

${comb}_{T}(x)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi in{\frac {x}{T}}}\;\;\;\;\;(3i)$

Transformada de Fourier

O Pente de Dirac exibe a propriedade de invariância em relação ao operador Transformada de Fourier:

${\mathcal {F}}\{comb(x)\}\;=\;comb(f)\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }e^{-i\cdot 2\pi f\cdot k}\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\delta (f\;-\;k)\;\;\;\;\;(3j)$

(a definição do Delta de Dirac no domínio da frequência é $\delta (f)=e^{-i\cdot 2\pi f}$ ).

Extensão para espaços com mais dimensões

As expressões (1) e (2) definem o Pente de Dirac em um espaço euclideano bidimensional, isto é, com uma variável independente x. Essas definições podem ser generalizadas facilmente de modo a contemplar espaços com mais dimensões. A expressão

$\left.^{2}\right.comb(x,y)\;=\;\sum _{j\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\left.^{2}\right.\delta (x\;-\;j,y\;-\;k)\;\;\;\;\;(4)$

define o Pente de Dirac com duas variáveis independentes x e y, uma distribuição conhecida como cama de pregos (ing. "bed of nails"). ²δ(x,y) é a generalização do Delta de Dirac para duas variáveis independentes x e y: ²δ(x,y) = δ(x)·δ(y). Da mesma forma,

$\left.^{3}\right.comb(x,y,z)\;=\;\sum _{j\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{l\;=\;-\infty }^{\infty }\left.^{3}\right.\delta (x\;-\;j,y\;-\;k,z\;-\;l)\;\;\;\;\;(5)$

define o Pente de Dirac para três variáveis independentes x, y e z. Expressões similares podem ser escritas para dimensões superiores.

Equivalentes multidimensionais da expressão (2) seguem a forma seguinte:

$\left.^{2}\right.comb\left({\frac {x}{\tau _{x}}},{\frac {y}{\tau _{y}}}\right)\;=\;|\tau _{x}\cdot \tau _{y}|\cdot \sum _{j\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\left.^{2}\right.\delta \left(x\;-\;{\frac {j}{\tau _{x}}},y\;-\;{\frac {k}{\tau _{y}}}\right)\;\;\;\;\;(6a)$

$\left.^{3}\right.comb\left({\frac {x}{\tau _{x}}},{\frac {y}{\tau _{y}}},{\frac {z}{\tau _{z}}}\right)\;=\;|\tau _{x}\cdot \tau _{y}\cdot \tau _{z}|\cdot \sum _{j\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{l\;=\;-\infty }^{\infty }\left.^{3}\right.\delta \left(x\;-\;{\frac {j}{\tau }},y\;-\;{\frac {k}{\tau _{y}}},z\;-\;{\frac {l}{\tau _{z}}}\right)\;\;\;\;\;(6b)$

Propriedades

A distribuição ²comb(x,y) exibe as seguintes propriedades notáveis:

$\left.^{2}\right.comb(x,y)\;=\;comb(x)\cdot comb(y)\;\;\;\;\;(7a)$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\cdot \left.^{2}\right.comb(x,y)\;dx\;dy\;=\;\sum _{j\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }f(j,k)\;\;\;\;\;(7b)$

$\left.^{2}\right.comb(x\;+\;m,y\;+\;n)\;=\;\left.^{2}\right.comb(x,y)\;|\;m,n\;\in \;\mathbb {Z} \;\;\;\;\;(7c)$

$f(x,y)\cdot \left.^{2}\right.comb(x,y)\;=\;\sum _{j\;=\;-\infty }^{\infty }\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }f(j,k)\cdot \left.^{2}\right.\delta (x\;-\;j,y\;-\;k)\;\;\;\;\;(7d)$

e, inclusive com relação à transformação de Fourier:

$\left.^{2}\right.{\mathcal {F}}\{\left.^{2}\right.comb(x,y)\}\;=\;\left.^{2}\right.comb(x,y)\;\;\;\;\;(7e)$

As propriedades (7b), (7c), (7d) e (7e) são extensões multidimensionais das propriedades (3g), (3b), (3f) e (3i), respectivamente.

Propriedades semelhantes podem ser deduzidas para pentes de ordem maior.

Outras funções importantes em espaços multidimensionais

Em um espaço com duas variáveis independentes, a distribuição comb(x) denota uma grade composta por planos paralelos ao eixo Y, e comb(y), uma grade com planos paralelos ao eixo X. comb(x)·δ(y) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo X, e comb(y)·δ(x) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo Y. Ainda mais interessante é a seguinte propriedade:

$\left.^{2}\right.{\mathcal {F}}\{comb(x)\}\;=\;comb(x)\cdot \delta (y)\;\;\;\;\;(7f)$

$\left.^{2}\right.{\mathcal {F}}\{comb(x)\cdot \delta (y)\}\;=\;comb(x)\;\;\;\;\;(7g)$

Pente geométrico de Dirac

Em algumas aplicações, é conveniente definir o pente geométrico de Dirac

$\Delta _{a}^{r}(\nu )\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }a^{-kr}\cdot \delta (\nu \;-\;a^{k})\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }a^{kr}\cdot \delta (\nu \;-\;a^{-k})\qquad |\;a\in {\mathcal {R}},\;a\;>\;0\qquad (8a)$

O nome deve-se ao fato de os valores da função formarem uma progressão geométrica com razão a; o pente de Dirac "comum" recebe às vezes o nome de pente aritmético de Dirac para evitar confusões.